集合函数总结

集合函数总结 篇1

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上的山

（2）元素的互异性如：由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}

（3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：x kb 1.c om

非负整数集（即自然数集） 记作：n

正整数集 ：n*或 n+

整数集： z

有理数集： q

实数集： r

1）列举法：{a,b,c……}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）a是b的一部分，；（2）a与b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a b或b a

2．“相等”关系：a=b (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。aa

② 真子集:如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集，记作a b(或b a)

③ 如果 ab, bc ,那么 ac

④ 如果ab 同时 ba 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集．记作a b（读作‘a交b’），即a b=｛x|x a，且x b｝．

由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集．记作：a b（读作‘a并b’），即a b ={x|x a，或x b})．

设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集（或余集）

记作 ，即

csa=

韦

恩

图

示

性

质 a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b ａ

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ．

二、函数的有关概念

1．函数的概念

设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数．记作： y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈a }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈a)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合c，叫做函数 y=f(x),(x ∈a)的图象．c上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在c上 .

(2) 画法

1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a b为从集合a到集合b的一个映射。记作“f（对应关系）：a（原象） b（象）”

对于映射f：a→b来说，则应满足：

(1)集合a中的每一个元素，在集合b中都有象，并且象是的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),则 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(a) 定义法：

（1）任取x1，x2∈d，且x1

（2）作差f(x1)－f(x2)；或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性）．

(b)图象法(从图象上看升降)

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

10、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

11．函数（小）值

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值

○2 利用图象求函数的（小）值

○3 利用函数单调性的判断函数的（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。

当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1） · ；

（2） ；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为r．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0<1

定义域 r 定义域 r

值域y＞0 值域y＞0

在r上单调递增 在r上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指数函数 ，总有 ；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数 ；

○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ n ＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 · ＋ ；

○2 － ；

○3 ．

注意：换底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） ．

（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、 ， ③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2、对数函数的性质：

a>1 0<1

定义域x＞0 定义域x＞0

值域为r 值域为r

在r上递增 在r上递减

函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；

（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

○1 （代数法）求方程 的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数 ．

（1）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

集合函数总结 篇2

三角函数公式

两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)

倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))

积化和差 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)

2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)

2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)

-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)

和差化积 sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2

cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb

tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb

ctga+ctgb=sin(a+b)/sinasinb

-ctga+ctgb=sin(a+b)/sinasin

集合与函数概念

一,集合有关概念

1,集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.

2,集合的中元素的三个特性:

1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

3,集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列举法与描述法.

注意啊:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:n

正整数集 n*或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r

关于"属于"的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就说a属于集合a 记作 a∈a ,相反,a不属于集合a 记作 a(a

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4,集合的分类:

1.有限集 含有有限个元素的集合

2.无限集 含有无限个元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二,集合间的基本关系

1."包含"关系—子集

注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合.

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba

2."相等"关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

实例:设 a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"

结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b

① 任何一个集合是它本身的子集.a(a

②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)

③如果 a(b,b(c ,那么 a(c

④ 如果a(b 同时 b(a 那么a=b

3.不含任何元素的集合叫做空集,记为φ

规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.

三,集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.

记作a∩b(读作"a交b"),即a∩b={x|x∈a,且x∈b}.

2,并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作"a并b"),即a∪b={x|x∈a,或x∈b}.

3,交集与并集的性质:a∩a = a,a∩φ= φ,a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.

4,全集与补集

(1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)

记作:csa 即 csa ={x ( x(s且 x(a}

(2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用u来表示.

(3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u